Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка F — середина стороны CD. Докажите, что BF — биссектриса угла ABC.

Чтобы доказать, что отрезок BF является биссектрисой угла ABC, воспользуемся свойствами параллелограмма и теоремой о биссектрисе.

1. Дано:

   • Параллелограмм ABCD.

   • Сторона CD вдвое больше стороны BC, то есть $CD = 2 \cdot BC$.

   • Точка F — середина стороны CD, то есть $CF = FD$.

2. Сначала определим некоторые важные элементы:
   В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно:

   • $AB = CD$

   • $AD = BC$

   Поскольку $CD = 2 \cdot BC$, то $AB = 2 \cdot BC$. Таким образом, сторона AB в два раза больше стороны BC.

3. Теперь рассмотрим треугольник ABC:
   Мы должны доказать, что отрезок BF делит угол $\angle ABC$ пополам. Для этого применим теорему о биссектрисе, которая утверждает, что если отрезок является биссектрисой угла, то он делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам угла.

4. Применяем теорему о биссектрисе:
   Согласно теореме о биссектрисе, если отрезок BF является биссектрисой угла $\angle ABC$, то:

   $$\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC}$$

   Где:

   • AF — отрезок, на который BF делит сторону AC,

   • FC — отрезок, на который BF делит сторону BC.

5. Найдем отношения длин сторон:
   Поскольку F — середина CD, то $CF = FD$. Также мы знаем, что $AB = 2 \cdot BC$. Таким образом, из теоремы о биссектрисе получаем, что:

   $$\frac{AF}{FC} = \frac{2 \cdot BC}{BC} = 2$$

   Это означает, что отрезок BF действительно делит сторону AC на два отрезка, причем один из них в два раза длиннее другого, что соответствует пропорции биссектрисы.

Таким образом, отрезок BF является биссектрисой угла $\angle ABC$.