В треугольнике ABC известно, что угол C = 90°, угол B = 30°. На катете BC отметили точку D такую, что угол ADC = 60°. Найдите катет BC, если CD = 5 см.

Решение задачи начинается с того, что в треугольнике $ABC$ угол $C = 90^\circ$, угол $B = 30^\circ$, а значит, угол $A = 60^\circ$ (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Теперь, зная, что $B = 30^\circ$ и $C = 90^\circ$, можно сразу сказать, что треугольник $ABC$ — прямоугольный и его стороны относятся как 1 : √3 : 2. Таким образом, если катет $BC$ обозначить через $x$, то гипотенуза $AB$ будет равна $2x$, а катет $AC$ — $x\sqrt{3}$.

Теперь перейдем к точке $D$, расположенной на катете $BC$, так, что угол $ADC = 60^\circ$. Мы будем использовать теорему синусов в треугольнике $ADC$, где угол $C = 90^\circ$, угол $DCA = 60^\circ$, а угол $ADC = 60^\circ$.

В треугольнике $ADC$ углы $DCA = 60^\circ$ и $ADC = 60^\circ$, что означает, что треугольник $ADC$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны. Таким образом, длина стороны $CD$ равна длине стороны $AD$. То есть $AD = CD = 5$ см.

Теперь мы знаем, что треугольник $ABC$ является прямоугольным с углами 30° и 60°, а также что длина отрезка $CD = 5$ см, что позволяет нам найти катет $BC$, равный $x$.

Так как $CD = AD = 5$, а в треугольнике $ABC$ стороны относятся как 1 : √3 : 2, то можно записать, что длина катета $BC$, которая равна $x$, равна 5 см.

Ответ: катет $BC$ равен 5 см.