В треугольнике ABC известно,что угол С=90 градусов,угол А=60 градусов.На катете ВС отметили точку К такую,что угол АКС=60 градусов.Найдите отрезок СК,если ВК=12см.

Помогите пожалуйста быстрее!

Давайте пошагово решим задачу.

1. Исходные данные:

   • У нас есть прямоугольный треугольник ABC, в котором угол $C = 90^\circ$ и угол $A = 60^\circ$.
   • На катете $BC$ отмечена точка $K$, такая что угол $\angle AKC = 60^\circ$.
   • Известно, что длина отрезка $BK = 12 \, \text{см}$.

2. Найдем угол $B$: В треугольнике ABC угол $C = 90^\circ$, угол $A = 60^\circ$, значит угол $B$ можно найти по теореме о сумме углов в треугольнике:

   $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ.$$

   То есть, угол $B = 30^\circ$.

3. Тип треугольника ABC: Поскольку угол $A = 60^\circ$, угол $B = 30^\circ$, а угол $C = 90^\circ$, треугольник ABC является прямоугольным и 30-60-90. Такие треугольники имеют особые пропорции сторон.

   В треугольнике 30-60-90:

   • Катет, противолежащий углу 30° (в данном случае $BC$), является половиной гипотенузы.
   • Катет, противолежащий углу 60° (в данном случае $AB$), равен $BC \cdot \sqrt{3}$.

   Если обозначить гипотенузу $AC = x$, то:

   • $BC = \frac{x}{2}$
   • $AB = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

4. Найдем длину катета $BC$: Известно, что длина отрезка $BK = 12 \, \text{см}$. Мы можем найти $BC$, потому что $BK + KC = BC$. Для этого нам нужно будет найти $KC$, но для этого сначала определим длину $BC$.

5. Используем треугольник AKC: Теперь обратим внимание на треугольник $AKC$. В нем угол $\angle AKC = 60^\circ$, а угол $\angle KAC = 30^\circ$, так как угол $\angle A = 60^\circ$, и $\angle A$ делится на два угла $\angle KAC$ и $\angle AKC$. Это значит, что треугольник $AKC$ тоже является равнобедренным, и его стороны, противолежащие углам 30° и 60°, равны.