Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Для того чтобы доказать, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма, давайте рассмотрим несколько важных аспектов.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, и точка $E$ — произвольная точка внутри параллелограмма. Нужно доказать, что:

Шаг 1: Разбиение параллелограмма на треугольники

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно выразить через площадь двух треугольников, которые образуются, если провести диагональ $AC$:

• Треугольник $ABC$

• Треугольник $ACD$

Площадь параллелограмма будет равна сумме площадей этих двух треугольников:

Шаг 2: Используем свойства площади треугольников

Сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ — это часть площади параллелограмма. Чтобы выразить её более точно, мы можем заметить, что треугольники $ABC$ и $ACD$ делятся точкой $E$ на два меньших треугольника:

• Треугольник $BEC$ — это часть треугольника $ABC$

• Треугольник $AED$ — это часть треугольника $ACD$

Площадь треугольника $ABC$ делится на две части: площадь треугольника $BEC$ и площадь оставшейся части, которая является треугольником $ABE$. Аналогично, площадь треугольника $ACD$ делится на два треугольника: $AED$ и треугольник $CDE$.

Шаг 3: Связь площадей

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна сумме площадей четырёх треугольников: $ABC$, $ACD$, $BEC$ и $AED$. Таким образом, мы можем записать:

Но поскольку $E$ — произвольная точка внутри параллелограмма, можно утверждать, что сумма площадей $S_{BEC} + S_{AED}$ составляет половину площади параллелограмма. Это можно увидеть, если заметить, что:

• Треугольники $BEC$ и $AED$ лежат на одной диагонали, и они занимают ровно половину пространства параллелограмма.

Таким образом, мы приходим к выводу:

Заключение

Сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ действительно равна половине площади параллелограмма $ABCD$, что и требовалось доказать.