Высота равностороннего треугольника равна 15 см. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Ответы на вопрос

Отвечает Саломов Мухамед.

Чтобы найти радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике, нужно использовать формулу для радиуса вписанной окружности в треугольник:

r = \frac{S}{p}

где:

В равностороннем треугольнике существует еще несколько взаимосвязанных формул для площади и полупериметра.

Полупериметр: Для равностороннего треугольника, если сторона треугольника равна $a$ , полупериметр вычисляется как:

p = \frac{3a}{2}

S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Высота: Высота равностороннего треугольника связана с его стороной по формуле:

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

В данном случае, высота $h$ равна 15 см, то есть:

h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = 15

Отсюда можно найти сторону $a$ :

a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 15}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \, \text{см}

Теперь, используя значение стороны $a$ , можно вычислить полупериметр $p$ и площадь $S$ :

p = \frac{3a}{2} = \frac{3 \times 10\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \, \text{см}

S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(10\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{300 \sqrt{3}}{4} = 75\sqrt{3} \, \text{см}^2

Теперь, подставим значения $S$ и $p$ в формулу для радиуса $r$ :

r = \frac{S}{p} = \frac{75\sqrt{3}}{15\sqrt{3}} = 5 \, \text{см}

Ответ: радиус вписанной окружности равен 5 см.

Ответы на вопрос