Радиус основания конуса равен R. Концы хорды основания, стягивающей дугу в 120 градусов, являются концами двух взаимно перпендикулярных образующих. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Поставим центр основания $O$ в плоскости $z=0$, радиус $R$. Возьмём точки хорды $A,B$ на окружности так, чтобы $\angle AOB=120^\circ$. Для удобства

Вершина конуса $V(0,0,h)$ (правый круговой конус).

Векторы образующих:

По условию образующие взаимно перпендикулярны, значит $\vec{VA}\cdot\vec{VB}=0$:

Отсюда $h^2=\dfrac{R^2}{2}\Rightarrow h=\dfrac{R}{\sqrt2}$.

Образующая (наклонная высота) $l=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{\frac{R^2}{2}+R^2}=R\sqrt{\frac32}$.

Полная площадь поверхности: