Докажите, что площадь треугольника АВС вычисляется по формуле S = 1/2 Pr.

Решение.

Пусть в треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Она касается сторон $BC, CA, AB$ в точках $D, E, F$ соответственно. По определению вписанной окружности расстояние от центра $O$ до каждой стороны равно $r$ (перпендикуляры $OD, OE, OF$).

Рассмотрим площади трёх треугольников с общей вершиной в $O$ и основаниями на сторонах исходного треугольника:

Их сумма как раз и даёт площадь всего треугольника $ABC$, потому что эти три части без перекрытий заполняют его полностью:

Обозначив $P=AB+BC+CA$ — периметр треугольника, получаем

Эквивалентно, если $p=\tfrac12P$ — полупериметр, то формула записывается как $S=pr$. Что и требовалось доказать.