ABCD-четырехугольник А(-3;-1), B(1;2), C(5;-1), D(1;-4)Доказать что ABCD-ромб?

Проверю равенство всех сторон по формуле расстояния (этого достаточно для ромба).

Точки:
A(−3, −1), B(1, 2), C(5, −1), D(1, −4).

1. $AB$: $\vec{AB}=(1-(-3),\,2-(-1))=(4,3)$.
   $|AB|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

2. $BC$: $\vec{BC}=(5-1,\,-1-2)=(4,-3)$.
   $|BC|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

3. $CD$: $\vec{CD}=(1-5,\,-4-(-1))=(-4,-3)$.
   $|CD|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

4. $DA$: $\vec{DA}=(-3-1,\,-1-(-4))=(-4,3)$.
   $|DA|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

Все четыре стороны равны (по 5), значит $ABCD$ — ромб.

Дополнительно можно проверить «ромбовость» через диагонали:
$AC$: из $(-3,-1)$ в $(5,-1)$ — горизонталь, длина $8$,
$BD$: из $(1,2)$ в $(1,-4)$ — вертикаль, длина $6$.
Они перпендикулярны и имеют общий середину:
середина $AC$ — $\big(\frac{-3+5}{2},\frac{-1-1}{2}\big)=(1,-1)$,
середина $BD$ — $\big(\frac{1+1}{2},\frac{2+(-4)}{2}\big)=(1,-1)$.
Пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам — это характерно для ромба.

Итого: по равенству всех сторон (и, кстати, по свойствам диагоналей) $ABCD$ — ромб.