Дана окружность. В неё вписан правильный треугольник с \( P = 6\sqrt{3} \) дм. Найти \( P \) вписанного шестиугольника.

Найдём периметр шестиугольника шаг за шагом.

1. Дан правильный треугольник, вписанный в окружность, с периметром

   $$P_{\triangle} = 6\sqrt{3} \text{ дм}.$$

2. Найдём сторону треугольника.
   В правильном треугольнике все стороны равны, поэтому:

   $$3a = 6\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ дм}.$$

3. Связь стороны правильного треугольника и радиуса окружности.
   Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, справедлива формула:

   $$a = 2R \sin 60^\circ.$$

   Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

   $$a = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}.$$

   Подставим найденное $a = 2\sqrt{3}$:

   $$2\sqrt{3} = R\sqrt{3} \Rightarrow R = 2 \text{ дм}.$$

4. Теперь рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в ту же окружность.
   Известный факт: в правильном шестиугольнике, вписанном в окружность, сторона шестиугольника равна радиусу окружности.
   Это следует из формулы для стороны правильного $n$-угольника:

   $$s = 2R \sin \frac{\pi}{n}.$$

   Для шестиугольника $n = 6$:

   $$s = 2R \sin \frac{\pi}{6} = 2R \cdot \frac{1}{2} = R.$$

   Следовательно, сторона шестиугольника:

   $$s = R = 2 \text{ дм}.$$

5. Находим периметр шестиугольника.
   В правильном шестиугольнике 6 равных сторон:

   $$P_{6} = 6s = 6 \cdot 2 = 12 \text{ дм}.$$

Ответ: периметр вписанного шестиугольника равен $12$ дм.