Две окружности с центрами в точках О₁ и О₂ пересекаются в точках А и B. Докажите, что угол О₁АО₂ равен углу О₁ВО₂.

Для того чтобы доказать, что угол $O_1 A O_2$ равен углу $O_1 B O_2$, можно использовать свойства окружностей и теоремы о хордах и углах.

1. Рассмотрим окружности и точки пересечения.
   Пусть две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Обозначим эти окружности как $\Omega_1$ и $\Omega_2$.

2. Хорды и центральные углы.
   Поскольку $A$ и $B$ лежат на обеих окружностях, отрезки $O_1 A$, $O_1 B$, $O_2 A$ и $O_2 B$ являются радиусами этих окружностей. Отрезки $AB$ являются общими хордами обеих окружностей.

3. Свойство углов при пересечении окружностей.
   Рассмотрим треугольники $O_1 A O_2$ и $O_1 B O_2$. Эти треугольники имеют несколько общих свойств:

   • В каждом из них стороны $O_1 A$ и $O_1 B$ — радиусы одной окружности, а стороны $O_2 A$ и $O_2 B$ — радиусы другой окружности.

   • Эти треугольники можно рассматривать как такие, в которых одна из сторон (например, $O_1 A$ и $O_2 A$) лежит на одной окружности, а другая (например, $O_1 B$ и $O_2 B$) на другой.

4. Симметрия пересечения.
   Из-за симметрии пересечения двух окружностей в точках $A$ и $B$ и того, что углы при пересечении касательных к окружности одинаковы (по свойству касательных), можно утверждать, что углы между радиусами обеих окружностей в точках $A$ и $B$ равны. То есть, угол $O_1 A O_2$ равен углу $O_1 B O_2$.

5. Заключение.
   Таким образом, угол $O_1 A O_2$ действительно равен углу $O_1 B O_2$ по причине симметрии и равенства углов при пересечении двух окружностей.