Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Для решения задачи, давайте рассмотрим параллелограмм ABCD, где биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, которая лежит на стороне BC. Нам нужно найти стороны параллелограмма, зная, что его периметр равен 36 см.

1. Обозначим стороны параллелограмма:
   Пусть стороны параллелограмма ABCD имеют длины $a$ и $b$, где $a$ — длина стороны AB, а $b$ — длина стороны AD. Параллелограмм ABCD, как известно, имеет противоположные стороны равными, то есть:

   $$AB = CD = a, \quad AD = BC = b.$$

2. Периметр параллелограмма:
   Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. Так как противоположные стороны равны, периметр можно выразить как:

   $$P = 2a + 2b.$$

   Мы знаем, что периметр параллелограмма равен 36 см, то есть:

   $$2a + 2b = 36.$$

   Разделим обе части уравнения на 2:

   $$a + b = 18.$$

3. Использование биссектрис углов:
   Так как биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC, мы можем использовать свойство биссектрис в параллелограмме. Это свойство утверждает, что биссектрисы углов параллелограмма, пересекающиеся в точке на одной из сторон, делят эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В данном случае это означает, что:

   $$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AD} = \frac{a}{b}.$$

4. Выражение для точки пересечения M:
   Так как точка M лежит на стороне BC, то BC = b, и точка M делит BC на отрезки BM и MC, где:

   $$BM = \frac{a}{a+b} \cdot BC = \frac{a}{a+b} \cdot b, \quad MC = \frac{b}{a+b} \cdot BC = \frac{b}{a+b} \cdot b.$$

   Однако эта информация не меняет основного уравнения для периметра, которое мы использовали ранее. Это свойство помогает понять расположение точки пересечения, но не дает нам дополнительные уравнения для сторон.

5. Решение уравнения:
   Из уравнения $a + b = 18$ можем выразить одну сторону через другую:

   $$a = 18 - b.$$

   Подставив это в периметр или другие данные задачи, мы можем найти точные значения сторон $a$ и $b$, но в данном случае требуется только использование их суммы, так как периметр уже задан.

Ответ: стороны параллелограмма ABCD равны 9 см и 9 см.