Дано: треугольник ABC, угол C = 90°, угол B = 60°, AB + BC = 12 см. Найдите: AB и BC.

Дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол B = 60°, а сумма сторон AB и BC равна 12 см. Необходимо найти длины сторон AB и BC.

Рассмотрим, что в прямоугольном треугольнике с углом B = 60° угол A = 30° (поскольку сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, а два угла уже заданы: угол C = 90° и угол B = 60°). Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным треугольником с углами 30°, 60° и 90°.

Для такого треугольника существует известное соотношение между длинами сторон:

• Сторона, противолежащая углу 30° (сторона BC), в два раза короче гипотенузы (стороны AB).

• Сторона, противолежащая углу 60° (сторона AC), в $\sqrt{3}$ раза короче гипотенузы.

Обозначим длину стороны AB (гипотенузы) как $x$. Тогда:

• Сторона BC, противолежащая углу 30°, будет равна $\frac{x}{2}$.

• Сторона AC, противолежащая углу 60°, будет равна $\frac{x\sqrt{3}}{2}$.

Согласно условию задачи, сумма сторон AB и BC равна 12 см:

Решим это уравнение:

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 8 см. Теперь можем найти длину стороны BC:

Итак, длины сторон треугольника:

• AB = 8 см,

• BC = 4 см.