Докажите, что если вписанный угол является прямым, то он опирается на диаметр.

Рассмотрим окружность с центром $O$ и вписанный угол $\angle ACB=90^\circ$, опирающийся на хорду (дугу) $AB$. Докажем, что $AB$ — диаметр.

Доказательство 1 (через равенство «вписанный = половина центрального»)

1. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на ту же дугу $AB$, вдвое больше вписанного:
   $\angle AOB = 2\angle ACB$.

2. Так как $\angle ACB=90^\circ$, получаем $\angle AOB=180^\circ$.

3. Центральный «угол» в $180^\circ$ — это развёрнутый угол, то есть точки $A,O,B$ лежат на одной прямой. Значит, отрезок $AB$ проходит через центр $O$ и является диаметром.

Тем самым, если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр.

Доказательство 2 (через серединку гипотенузы)

1. Треугольник $ACB$ прямоугольный ($\angle ACB=90^\circ$). Его описанная окружность — наша окружность.

2. Из классического свойства прямоугольного треугольника: центр описанной окружности — середина гипотенузы. То есть центр $O$ — середина отрезка $AB$.

3. Если центр окружности — середина $AB$, то $AB$ проходит через центр и, следовательно, является диаметром.

Итак, в обоих подходах получаем один и тот же вывод: вписанный прямой угол обязательно опирается на диаметр.