На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K, угол MKB = углу A. Отрезок BO — биссектриса угла MBK, MO = 2, OK = 3. Найти BC : AB.

Дано треугольник ABC, на сторонах AB и BC взяты точки M и K соответственно, и угол MKB равен углу A. Также известно, что отрезок BO — биссектриса угла MBK, и что длины отрезков MO и OK равны 2 и 3 соответственно.

Необходимо найти отношение длин сторон BC и AB, то есть $\frac{BC}{AB}$.

Шаг 1: Обозначения и свойства

Обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом:

• $AB = c$,

• $BC = a$,

• $AC = b$.

У нас есть важное условие: угол MKB равен углу A. Это может быть полезно для использования теоремы о подобных треугольниках или для применения подобия треугольников.

Шаг 2: Рассмотрим использование биссектрисы

Биссектриса угла MBK делит угол MBK пополам. Это значит, что угол BOK (где O — точка пересечения биссектрисы с отрезком MK) будет равен половине угла MBK. Таким образом, можно воспользоваться свойствами биссектрисы для дальнейших рассуждений.

Кроме того, известно, что в любом треугольнике биссектрисы делят противолежащие стороны в отношении длин прилежащих сторон. То есть:

Заменим известные значения:

Таким образом, можно записать:

Шаг 3: Используем подобие треугольников

Так как угол MKB равен углу A, а угол MBK делится биссектрисой, можно рассматривать треугольники MBK и ABC как подобные. Следовательно, отношение соответствующих сторон этих треугольников также будет одинаковым.

Таким образом, имеем:

Из предыдущего шага мы уже знаем, что $\frac{BM}{BK} = \frac{2}{3}$, следовательно:

Шаг 4: Ответ

Искомое отношение $\frac{BC}{AB}$ является обратным отношению $\frac{AB}{BC}$, то есть:

Ответ: $\frac{BC}{AB} = \frac{3}{2}$.