В куб вписан шар. Найдите площадь поверхности шара, если площадь полной поверхности куба равна 1170/π см².

Чтобы найти площадь поверхности шара, вписанного в куб, начнем с анализа задачи.

1. Площадь полной поверхности куба: Площадь полной поверхности куба можно выразить через длину его ребра $a$. Площадь полной поверхности куба равна 6 умножить на квадрат длины ребра куба, то есть:

2. Площадь полной поверхности куба нам дана в условии задачи: $S_{\text{cube}} = \frac{1170}{\pi} \, \text{см}^2$. Таким образом, можно записать:

Из этого выражения найдём $a^2$:

Теперь, зная $a^2$, найдём $a$, используя квадратный корень:

3. Площадь поверхности шара. Площадь поверхности шара, вписанного в куб, равна $4\pi r^2$, где $r$ — радиус шара. Радиус шара равен половине длины ребра куба, то есть:

Таким образом, площадь поверхности шара будет:

4. Подставляем значение $a^2$ из предыдущего шага:

Итак, площадь поверхности шара составляет 195 см².