Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1,если AC=15 см,DC1=4^13 см,DB1=17 см

Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, нам нужно определить длины всех трех его измерений: длину, ширину и высоту. Исходя из условия, нам даны диагонали параллелепипеда, которые проходят по разным направлениям, поэтому мы можем выразить их через длины сторон. Давайте разберем решение поэтапно.

1. Обозначим длины сторон параллелепипеда: Пусть:

   • $AB = a$ (длина),
   • $AD = b$ (ширина),
   • $AA_1 = c$ (высота).

2. Используем известные диагонали: По условию, даны следующие диагонали:

   • $AC = 15 \, \text{см}$: это диагональ основания $ABCD$, которая проходит по диагонали основания и может быть найдена по теореме Пифагора через $a$ и $b$.
   • $DC_1 = 4^{13} \, \text{см}$: это диагональ боковой грани, проходящая от точки $D$ до точки $C_1$.
   • $DB_1 = 17 \, \text{см}$: это пространственная диагональ всего параллелепипеда, которая выражается через $a$, $b$ и $c$.

3. Запишем уравнения для диагоналей:

   • Для диагонали $AC$ основания $ABCD$:

     $$AC = \sqrt{a^2 + b^2} = 15.$$

   • Для диагонали $DC_1$, проходящей через $D$ и $C_1$:

     $$DC_1 = \sqrt{b^2 + c^2} = 4^{13}.$$

   • Для пространственной диагонали $DB_1$:

     $$DB_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 17.$$

4. Решаем систему уравнений:

   Первое уравнение:

   $$a^2 + b^2 = 15^2 = 225.$$

   Второе уравнение:

   $$b^2 + c^2 = (4^{13})^2 = 4^{26}.$$

   Третье уравнение:

   $$a^2 + b^2 + c^2 = 17^2 = 289.$$

   Подставляя $a^2 + b^2 = 225$ в третье уравнение, находим $c^2$:

   $$c^2 = 289 - 225 = 64.$$

   Следовательно,

   $$c = \sqrt{64} = 8.$$

   Теперь подставим $c^2 = 64$ во второе уравнение, чтобы найти $b^2$:

   $$b^2 + 64 = 4^{26}.$$