В равнобедренной трапеции ABCD диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если диагональ AC = 6 см.

Пусть основания равнобедренной трапеции $ABCD$ параллельны: $AB\parallel CD$, $AB=a$, $CD=b$, высота $h$. Разместим координаты: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C\!\left(\frac{a+b}{2},\,h\right)$, $D\!\left(\frac{a-b}{2},\,h\right)$.

Тогда векторы диагоналей:

Условие взаимной перпендикулярности $\vec{AC}\perp \vec{BD}$ даёт их скалярное произведение нулём:

Длина диагонали $AC$:

Отсюда

По условию $|AC|=6$, значит $a+b=6\sqrt2$.

Площадь трапеции:

Ответ: $18\ \text{см}^2$.