Площади двух прямоугольных треугольников с соответственно равными острыми углами относятся как 2/3. Как относятся гипотенузы этих треугольников?

Площади двух прямоугольных треугольников с равными острыми углами относятся как 2/3. Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты. Если у нас есть два треугольника, то их площади можно записать как:

где $a_1, b_1$ — катеты первого треугольника, $a_2, b_2$ — катеты второго треугольника. Условие задачи нам говорит, что площади этих треугольников относятся как 2:3, то есть:

Подставим выражения для площадей:

упростим:

Теперь, зная, что прямоугольные треугольники с одинаковыми острыми углами подобны, мы можем использовать соотношения между их катетами и гипотенузами. Для подобных треугольников:

Таким образом, можно записать:

Следовательно, отношение сторон $\frac{a_1}{a_2}$ (и соответственно $\frac{b_1}{b_2}$) будет равно:

Теперь, используя теорему Пифагора, можем выразить гипотенузы этих треугольников. Гипотенуза первого треугольника будет:

где $a_1 = k \cdot a_2$ и $b_1 = k \cdot b_2$, $k = \sqrt{\frac{2}{3}}$. Тогда гипотенуза второго треугольника будет: