В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Найдите углы треугольника BCM, если угол DAB = 25°, угол ADC = 40°.

Решение.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Заметим, что луч $BM$ лежит на хорде $AB$, а луч $CM$ — на хорде $CD$. Поэтому углы треугольника $BCM$ при вершинах $B$ и $C$ совпадают с вписанными углами четырёхугольника $ABCD$:

Дано:

Это вписанные углы, значит они стягивают соответствующие дуги:

Тогда

Значит два угла треугольника уже найдены:

Третий угол при вершине $M$ равен

Ответ: $\angle CBM=40^\circ,\ \angle BCM=25^\circ,\ \angle BMC=115^\circ.$