Через точку М лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые a и b. первая пересекает плоскости в точках А1 и В1, соответственно, вторая - в точках А2 и В2. Вычислите длину отрезка А2В2, если МА2 : А1А2 = 4 : 7, А1В1 = 18 дм

Давайте разберем задачу по шагам и найдем длину отрезка $A_2B_2$ исходя из условий.

Дано:

1. Две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$.
2. Точка $M$ лежит между этими плоскостями.
3. Проведены две прямые $a$ и $b$, проходящие через точку $M$, пересекающие плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$, $B_1$ и $A_2$, $B_2$ соответственно.
4. Соотношение отрезков: $\frac{MA_2}{A_1A_2} = \frac{4}{7}$.
5. Длина отрезка $A_1B_1 = 18$ дм.

Решение:

1. Рассмотрим отрезок $A_1A_2$. Так как $M$ лежит на этом отрезке и делит его в отношении $MA_2 : A_1A_2 = 4 : 7$, можно записать длину всего отрезка $A_1A_2$ как:

   $$A_1A_2 = MA_2 + A_1M$$

2. Пусть длина $A_1A_2 = x$. Тогда, согласно соотношению, точка $M$ делит отрезок в отношении 4:7, что означает:

   $$MA_2 = \frac{4}{7} x$$

   и

   $$A_1M = \frac{3}{7} x$$

3. Используем соотношение для отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, и прямая $b$ также пересекает их, отрезки $A_1B_1$ и $A_2B_2$ будут пропорциональны длине отрезков $A_1A_2$.

4. Так как точка $M$ делит отрезок $A_1A_2$ в отношении $4:7$, это же отношение будет сохраняться и для отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$. То есть:

   $$\frac{A_2B_2}{A_1B_1} = \frac{4}{7}$$

5. Находим длину отрезка $A_2B_2$, подставив $A_1B_1 = 18$ дм:

   $$A_2B_2 = A_1B_1 \cdot \frac{4}{7} = 18 \cdot \frac{4}{7} = \frac{72}{7} = 10.29 \text{ дм (округленно)}$$

Ответ:

Длина отрезка $A_2B_2$