Точка M является серединой боковой стороны AB трапеции ABCD. Площадь треугольника MCD равна 17. Найдите площадь трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ параллельны основания $AD \parallel BC$. Тогда боковые стороны — это $AB$ и $CD$, и по условию точка $M$ — середина боковой стороны $AB$.

Обозначим:

• $AD = d$,

• $BC = b$,

• высоту трапеции (расстояние между основаниями) — $h$.

Тогда площадь трапеции равна

Теперь найдём площадь треугольника $MCD$.

Рассмотрим координатную модель (это просто удобный способ посчитать площади):

• расположим основание $AD$ на горизонтальной прямой: $A(0,0)$, $D(d,0)$;

• так как $BC \parallel AD$, пусть $B(x,h)$, $C(x+b,h)$ для некоторого сдвига $x$;

• тогда середина $AB$ имеет координаты

Площадь треугольника $MCD$ выражается через модуль определителя (векторного произведения):

Векторы:

Определитель:

Берём модуль и подставляем в формулу площади:

Сравним с площадью трапеции: