а) Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30 градусам. б) Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45 градусов.

а) Боковая сторона 20 см, угол при основании 30°

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит обе боковые стороны по 20 см. Углы при основании равны, то есть каждый по $30^\circ$. Тогда вершины̆ угол:

Площадь треугольника можно найти по двум сторонам и углу между ними:

Здесь $a=b=20$, $\gamma=120^\circ$:

Значит,

Ответ (а): $\boxed{100\sqrt3\ \text{см}^2}$.

б) Высота к боковой стороне 6 см и образует с основанием угол $45^\circ$

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $BC$ и боковыми сторонами $AB=AC$. Проведена высота к боковой стороне, например $CH\perp AB$, причём $CH=6$ и угол между $CH$ и основанием $BC$ равен $45^\circ$.

Рассмотрим угол между прямыми:

• $CH$ образует с $BC$ угол $45^\circ$,

• $CH\perp AB$.

Значит угол между $AB$ и $BC$ равен:

Но угол между $AB$ и $BC$ — это угол при основании $\angle ABC$. Следовательно,

То есть треугольник прямоугольный равнобедренный, где $AB=AC$, а основание $BC$ — гипотенуза.

Теперь используем площадь через сторону $AB$ и высоту к ней $CH$:

Осталось найти $AB$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle A=90^\circ$) высота из прямого угла к катету $AB$ — это как раз $CH$. Треугольник $ABC$ имеет катеты $AB=AC$. Площадь также равна:

Приравниваем две формулы площади:

Так как $AB>0$, делим на $AB$: