В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке М, МВ=10, АМ=12, DC=23. Найдите длины СМ и DM.

Для решения задачи применим теорему о пересечении хорд в окружности, которая гласит: если две хорды пересекаются в точке, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. То есть:

Из условия задачи известно:

• $МВ = 10$

• $АМ = 12$

• $DC = 23$

Нужно найти $СМ$ и $МD$.

Обозначим:

• $СМ = x$

• $МD = y$

Из теоремы о пересечении хорд получаем уравнение:

Кроме того, известно, что длина всей хорды $CD = 23$, то есть:

Теперь решим систему уравнений:

1. $x \cdot y = 120$

2. $x + y = 23$

Для решения выразим $y$ через $x$ из второго уравнения:

Подставим это выражение в первое уравнение:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, получаем два значения для $x$:

Таким образом, $СМ = 15$ или $СМ = 8$. Поскольку $x + y = 23$, для каждого значения $x$ находим $y$:

• Если $СМ = 15$, то $МD = 23 - 15 = 8$

• Если $СМ = 8$, то $МD = 23 - 8 = 15$

Итак, длины отрезков $СМ$ и $МD$ могут быть равны 15 и 8, или 8 и 15.