Помогите очень срочно! Из точки окружности проведены две перпендикулярные хорды, длины которых относятся как 5:12. Найдите длины хорд, если радиус окружности равен 13 см.

Для решения задачи начнем с анализа условий:

1. У нас есть две хорды, проведенные из одной точки окружности, причем они перпендикулярны.
2. Их длины относятся как $5:12$.
3. Радиус окружности равен $13 \, \text{см}$.

Шаг 1: Обозначим длины хорд

Пусть длина одной хорды равна $5x$, а другой $12x$, где $x$ — неизвестный множитель.

Шаг 2: Геометрия окружности и хорд

Хорды пересекаются в одной точке окружности. Радиус окружности $R$ соединяет центр окружности $O$ с точкой пересечения хорд и равен $13 \, \text{см}$.

При таком расположении хорды перпендикулярны и пересекаются в одной точке, которая делит каждую хорду на две равные части. Таким образом:

• Первая хорда делится на отрезки длиной $\frac{5x}{2}$ и $\frac{5x}{2}$,
• Вторая хорда делится на отрезки длиной $\frac{12x}{2}$ и $\frac{12x}{2}$.

Шаг 3: Используем теорему Пифагора

Точки пересечения хорд образуют два прямоугольных треугольника, в которых гипотенузой является радиус окружности $R$, а катеты — половины хорд. Поскольку радиус окружности одинаков для всех точек, записываем соотношение для любой из хорд:

Шаг 4: Упростим уравнение

Подставляем значения:

Складываем:

Равенство:

Шаг 5: Найдем $x^2$

Умножим обе части на $4$:

Разделим на $169$:

Найдем $x$:

Шаг 6: Найдем длины хорд

• Первая хорда: $5x = 5 \cdot 2 = 10 \, \text{см}$,
• Вторая хорда: $12x = 12 \cdot 2 = 24 \, \text{см}$.

Ответ

Длины хорд равны $10 \, \text{см}$ и $24 \, \text{см}$.