На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K, а на сторонах AB и BC – точки M и P соответственно, причём PK=MB, ∠KPC=80°, ∠C=50°. Докажите, что KMBP – параллелограмм.

Для того чтобы доказать, что фигура KMBP является параллелограммом, давайте внимательно рассмотрим данные задачи и используем геометрические свойства.

1. Дано:

   • Треугольник ABC — равнобедренный, то есть $AB = AC$.

   • Точка K расположена на стороне AC.

   • Точки M и P расположены на сторонах AB и BC, соответственно.

   • Дано, что $PK = MB$, то есть отрезки PK и MB равны.

   • Угол $\angle KPC = 80^\circ$.

   • Угол $\angle C = 50^\circ$.

2. Основные шаги доказательства:

   • В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине C равен 50°, то есть $\angle A = \angle B = 65^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).

   • Рассмотрим треугольник KPC. Угол $\angle KPC = 80^\circ$, и мы знаем, что $\angle C = 50^\circ$. Из этого можно найти угол $\angle KBC$, поскольку $\angle KBC = 180^\circ - \angle KPC - \angle C = 180^\circ - 80^\circ - 50^\circ = 50^\circ$.

   • Теперь заметим, что угол $\angle KMB$ в треугольнике ABC является внешним углом для треугольника KPC. Так как $\angle KBC = 50^\circ$ и стороны BM и BP равны (по условию $PK = MB$), то $\angle KMB = \angle KBC = 50^\circ$.

   • В конечном итоге мы доказали, что углы при противоположных вершинах в фигуре KMBP равны. А это означает, что противоположные стороны параллельны, и следовательно, фигура KMBP — параллелограмм.

Таким образом, мы доказали, что KMBP является параллелограммом.