На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC за точку C отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC, ABD и CBD основание высоты, проведённой из вершины B, лежит на стороне?

Рассмотрим ситуацию внимательно.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это значит, что равны стороны $AB$ и $BC$, а вершина равнобедренного треугольника — точка $B$.

Точка $D$ лежит на продолжении основания $AC$ за точку $C$. Значит, точки $A$, $C$, $D$ расположены на одной прямой, причём $C$ находится между $A$ и $D$.

Нужно понять, в каких из треугольников $ABC$, $ABD$, $CBD$ основание высоты, опущенной из вершины $B$, попадает именно на сторону треугольника, а не на её продолжение.

Это зависит от того, является ли угол при той стороне, на которую опускается высота, острым или тупым.
Если из вершины треугольника высота падает на противоположную сторону внутри отрезка, то основание высоты лежит на стороне.
Если же треугольник тупоугольный, то высота из острого угла падает на продолжение противоположной стороны.

Теперь разберём каждый треугольник.

1. Треугольник $ABC$

Так как $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, высота из вершины $B$ к основанию $AC$ в равнобедренном треугольнике всегда проходит на саму сторону $AC$, причём попадает в её середину.

Значит, в треугольнике $ABC$ основание высоты лежит на стороне.

2. Треугольник $CBD$

Точки $C$, $D$ лежат на одной прямой с $A$, причём $D$ находится правее $C$. В треугольнике $CBD$ высота из $B$ опускается на сторону $CD$.
Перпендикуляр из точки $B$ к прямой $AC$ проходит через точку, которая в треугольнике $ABC$ лежит на отрезке $AC$, то есть левее точки $C$. А отрезок $CD$ расположен правее $C$.

Следовательно, основание этого перпендикуляра не может лежать на отрезке $CD$; оно лежит на продолжении прямой $CD$.

Значит, в треугольнике $CBD$ основание высоты не лежит на стороне.

3. Треугольник $ABD$

Здесь высота из $B$ опускается на сторону $AD$. Но отрезок $AD$ содержит и $A$, и $C$, и точку основания высоты из треугольника $ABC$, потому что эта точка лежит на $AC$, а $AC$ является частью $AD$.

Следовательно, перпендикуляр из $B$ к прямой $AD$ попадает внутрь отрезка $AD$, а значит, основание высоты лежит на стороне $AD$.

Вывод

Основание высоты, проведённой из вершины $B$, лежит на стороне в треугольниках:

$ABC$ и $ABD$.

В треугольнике $CBD$ оно лежит не на стороне, а на её продолжении.