Найдите площадь полной поверхности усечённого конуса, если он образован вращением прямоугольной трапеции с основаниями 13 и 18 см вокруг меньшей стороны, равной 12 см.

Для нахождения площади полной поверхности усечённого конуса, образованного вращением прямоугольной трапеции, нужно использовать формулы для площади боковой поверхности и площади основания усечённого конуса.

1. Геометрия усечённого конуса:

   • Основания конуса: радиусы оснований $R = 9$ см и $r = 13$ см (эти радиусы соответствуют основаниям трапеции 13 см и 18 см соответственно, поскольку трапеция вращается вокруг меньшей стороны).

   • Высота конуса $h = 12$ см (меньшая сторона трапеции).

2. Площадь боковой поверхности усечённого конуса:
   Для расчёта площади боковой поверхности усечённого конуса используем формулу:

   $$S_{\text{бок}} = \pi (R + r) \cdot l$$

   где $l$ — образующая конуса. Образующую можно найти через теорему Пифагора:

   $$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$$

   Подставляем значения:

   $$l = \sqrt{12^2 + (18 - 13)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

   Теперь находим площадь боковой поверхности:

   $$S_{\text{бок}} = \pi (9 + 13) \cdot 13 = \pi \cdot 22 \cdot 13 = 286\pi \text{ см}^2$$

3. Площадь основания усечённого конуса:
   Площадь основания конуса (верхнего и нижнего кругов) вычисляется по формулам для площади круга:

   $$S_{\text{осн}} = \pi R^2 \quad \text{и} \quad S_{\text{верх}} = \pi r^2$$

   Подставляем радиусы:

   $$S_{\text{осн}} = \pi \cdot 9^2 = 81\pi \text{ см}^2$$ $$S_{\text{верх}} = \pi \cdot 13^2 = 169\pi \text{ см}^2$$

4. Полная площадь поверхности усечённого конуса:
   Полная площадь поверхности — это сумма площади боковой поверхности и площадей оснований:

   $$S_{\text{полная}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} + S_{\text{верх}}$$ $$S_{\text{полная}} = 286\pi + 81\pi + 169\pi = 536\pi \text{ см}^2$$

   Принимая $\pi \approx 3.1416$, получаем:

   $$S_{\text{полная}} \approx 536 \cdot 3.1416 = 1685.87 \text{ см}^2$$

Ответ: площадь полной поверхности усечённого конуса составляет примерно 1685.87 см².