Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 дм. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30 градусов. Вычислить объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

Нужно найти площадь основания и высоту пирамиды.

Основание — правильный шестиугольник со стороной $a=4$ дм. Площадь правильного шестиугольника:

Подставим $a=4$:

Теперь найдем высоту пирамиды.

В правильной шестиугольной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности основания.

У правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне:

Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $30^\circ$. Значит, в прямоугольном треугольнике:

Так как

получаем:

Теперь найдем объем:

Сократим $\sqrt3$:

Ответ: