Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8 м, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 60 градусов. Найдите: а) боковое ребро; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Дана правильная шестиугольная пирамида. Это значит, что в основании лежит правильный шестиугольник, а вершина пирамиды находится над его центром.

Сторона основания:

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Обозначим:

— боковое ребро пирамиды, где $S$ — вершина пирамиды, $A$ — вершина основания.

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника. Тогда $SO$ — высота пирамиды, а $AO$ — проекция бокового ребра $SA$ на плоскость основания.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, поэтому:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAO$. В нём угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания равен углу между ребром $SA$ и его проекцией $AO$, то есть:

а) Найдём боковое ребро

В треугольнике $SAO$:

Так как

получаем:

Отсюда:

Значит, боковое ребро пирамиды равно:

б) Найдём площадь боковой поверхности

Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из 6 равных боковых граней. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами:

Найдём высоту боковой грани, то есть апофему пирамиды. Обозначим её $SM$, где $M$ — середина стороны основания.

В равнобедренном треугольнике боковой грани высота делит основание пополам:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$. По теореме Пифагора:

Теперь найдём площадь одной боковой грани:

Так как граней 6, площадь боковой поверхности:

Ответ: