Тупоугольный равнобедренный треугольник вписан в окружность, радиус которой 5 сантиметров. Высота, проведённая к основанию этого треугольника, равна 2 сантиметра. Найдите стороны треугольника.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $AB$, а вершина — $C$. Высота, проведённая к основанию, равна $2$ см.

Так как треугольник равнобедренный, высота к основанию одновременно является медианой. Обозначим половину основания через $x$. Тогда:

Пусть вершина $C$ находится на высоте $2$ см над основанием. Рассмотрим окружность радиуса $5$ см, описанную около треугольника. Центр окружности лежит на оси симметрии треугольника, то есть на прямой, содержащей высоту.

Так как треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника, за основанием. Расстояние от центра окружности до вершины $C$ равно радиусу, то есть $5$ см.

Высота треугольника равна $2$ см, поэтому центр окружности находится на расстоянии

см ниже основания.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• половиной основания $x$,

• расстоянием от центра окружности до основания, равным $3$,

• радиусом окружности, равным $5$.

По теореме Пифагора:

Значит, основание треугольника равно:

Теперь найдём боковую сторону. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $4$ и $2$:

Так как треугольник равнобедренный,

Ответ:

Основание треугольника равно $8$ см, а боковые стороны равны по $2\sqrt5$ см.