В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A1CB1. С пояснением (доказательством)!

Возьмём координаты:

\( A(0;0;0) \), \( B(1;0;0) \), \( C\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2};0\right) \), \( A_1(0;0;1) \), \( B_1(1;0;1) \).

Плоскость \( ABC \) — это основание призмы, её нормальный вектор:

\[ \vec n_1=(0;0;1). \]

Для плоскости \( A_1CB_1 \) возьмём два вектора:

\[ \vec{CA_1}=\left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2};1\right), \quad \vec{CB_1}=\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2};1\right). \]

Их векторное произведение даёт нормаль к плоскости \( A_1CB_1 \):

\[ \vec n_2=\left(0;1;\frac{\sqrt3}{2}\right). \]

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями:

\[ \cos \varphi=\frac{|\vec n_1\cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot |\vec n_2|}. \]

Считаем:

\[ |\vec n_1\cdot \vec n_2|=\frac{\sqrt3}{2}, \quad |\vec n_2|=\sqrt{1+\frac34}=\frac{\sqrt7}{2}. \]

Значит,

\[ \cos \varphi=\frac{\sqrt3}{\sqrt7}. \]

Ответ:

\[ \varphi=\arccos\sqrt{\frac37}. \]

0 0 Пожаловаться