В окружности с центром О проведен диаметр АВ и взята точка С так, что угол СОВ равен 120 градус. АС=53. Найдите диаметр окружности

Рассмотрим окружность с центром $O$, диаметром $AB$ и точкой $C$, расположенной на окружности так, что угол $\angle COB = 120^\circ$. Нам известно, что $AC = 53$. Требуется найти диаметр окружности.

Шаг 1: Построение треугольника $\triangle AOC$

Поскольку $A$ и $B$ являются концами диаметра, угол $\angle ACB$ в окружности, опирающийся на этот диаметр, равен $90^\circ$ (по свойству угла, опирающегося на диаметр окружности). Следовательно, $\triangle AOC$ является треугольником, в котором угол $\angle COB = 120^\circ$.

Шаг 2: Использование косинусной теоремы

В треугольнике $\triangle AOC$, зная угол $\angle COB = 120^\circ$ и длину стороны $AC = 53$, можно применить теорему косинусов для нахождения стороны $AO$ (которая равна радиусу $R$ окружности, так как $O$ — центр).

Формула косинусов:

Так как $AO = OC = R$ (радиус окружности), подставим $AC = 53$ и угол $\angle COB = 120^\circ$, для которого $\cos(120^\circ) = -0.5$:

Разделим обе стороны на 3, чтобы найти $R$:

Теперь извлечем корень квадратный: