Известно, что в треугольнике ABC ∠A=50∘. Найдите градусную меру ∠BOC, где O — центр вписанной в треугольник ABC окружности.

В данном треугольнике $ABC$ известен угол $\angle A = 50^\circ$. Необходимо найти угол $\angle BOC$, где точка $O$ является центром вписанной окружности треугольника $ABC$.

Шаги решения:

1. Определим общие свойства треугольника и вписанной окружности. Центр вписанной окружности $O$ всегда лежит на пересечении биссектрис всех углов треугольника. Таким образом, углы $\angle BOC$, $\angle AOB$, и $\angle AOC$ зависят от углов треугольника $ABC$ и делятся биссектрисами.

2. Используем теорему о сумме углов в треугольнике. Так как $ABC$ — это треугольник, то сумма его углов равна $180^\circ$. Обозначим углы при вершинах $B$ и $C$ как $\angle B$ и $\angle C$ соответственно.

   $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

   Подставим значение угла $\angle A = 50^\circ$:

   $$50^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

   Таким образом:

   $$\angle B + \angle C = 130^\circ$$

3. Используем свойство биссектрисы и свойства углов при вписанном круге. Известно, что угол $\angle BOC$, образованный биссектрисами углов $B$ и $C$, равен $90^\circ + \frac{\angle A}{2}$.

4. Вычислим угол $\angle BOC$:

   Подставим значение угла $\angle A$:

   $$\angle BOC = 90^\circ + \frac{50^\circ}{2}$$ $$\angle BOC = 90^\circ + 25^\circ$$ $$\angle BOC = 115^\circ$$

Ответ:

Градусная мера угла $\angle BOC$ равна $115^\circ$.