Точки А(-3;5),В(5;7) и (7;-1) являются вершинами параллелограмма. Найдите его четвертую вершину

Для нахождения четвертой вершины параллелограмма, зная координаты трех его вершин $A(-3;5)$, $B(5;7)$ и $C(7;-1)$, можно воспользоваться геометрическим свойством: в параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам.

Обозначим координаты четвертой вершины как $D(x; y)$. Согласно свойству диагоналей параллелограмма, середина отрезка $AC$ должна совпадать с серединой отрезка $BD$.

1. Найдём середину отрезка $AC$:

   Координаты середины отрезка, соединяющего точки $A(x_1, y_1)$ и $C(x_2, y_2)$, можно найти по формуле:

   $$M_{AC} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

   Подставим координаты точек $A(-3; 5)$ и $C(7; -1)$:

   $$M_{AC} = \left( \frac{-3 + 7}{2}; \frac{5 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}; \frac{4}{2} \right) = (2; 2)$$

2. Найдём середину отрезка $BD$:

   Середина отрезка $BD$ также должна быть равна $(2; 2)$. Зная координаты $B(5; 7)$ и обозначив координаты точки $D(x; y)$, можем записать:

   $$M_{BD} = \left( \frac{5 + x}{2}; \frac{7 + y}{2} \right)$$

   Чтобы точки $M_{AC}$ и $M_{BD}$ совпадали, приравняем их координаты:

   $$\frac{5 + x}{2} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{7 + y}{2} = 2$$

3. Решим эти уравнения:

   Для $x$:

   $$\frac{5 + x}{2} = 2$$

   Умножим обе части на 2:

   $$5 + x = 4$$

   Вычтем 5 из обеих частей:

   $$x = -1$$

   Для $y$:

   $$\frac{7 + y}{2} = 2$$

   Умножим обе части на 2:

   $$7 + y = 4$$

   Вычтем 7 из обеих частей:

   $$y = -3$$

4. Ответ:

   Координаты четвертой вершины $D$ равны $(-1; -3)$.

Таким образом, четвертая вершина параллелограмма имеет координаты $D(-1; -3)$.