Докажите, что если высота треугольника проходит через центр описанной около него окружности, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике \(ABC\) высота из вершины \(A\) проходит через центр описанной окружности \(O\). Обозначим точку пересечения высоты с основанием \(BC\) через \(D\).

Так как \(AD\) — высота, то \(AD \perp BC\). Центр окружности \(O\) лежит на этой высоте, значит прямая \(OD\) тоже перпендикулярна \(BC\).

В окружности перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит эту хорду пополам. Значит, \(D\) — середина \(BC\), то есть \(BD = DC\).

Получается, что \(AD\) — не только высота, но и медиана треугольника \(ABC\). Если в треугольнике высота к стороне одновременно является медианой, то боковые стороны равны: \(AB = AC\).

Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.

0 0 Пожаловаться