Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причем точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD перпендикулярен EF.

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

У нас есть две окружности с центрами в точках $E$ и $F$, которые пересекаются в точках $C$ и $D$. Мы знаем, что точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD$, и нам нужно доказать, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $EF$.

Шаг 1: Понимание ситуации

Окружности пересекаются в двух точках $C$ и $D$, то есть эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезки $EC$ и $FC$ являются радиусами первой и второй окружностей соответственно. Аналогично, отрезки $ED$ и $FD$ являются радиусами тех же окружностей.

Шаг 2: Построение и использование свойств

Проведем отрезки $EC$ и $FC$ (радиусы окружностей, соответственно). Так как точка $C$ лежит на обеих окружностях, то отрезки $EC$ и $FC$ равны по длине (радиусы равны).

То же самое верно для точки $D$: отрезки $ED$ и $FD$ равны по длине. Таким образом, у нас есть два отрезка: $EC = FC$ и $ED = FD$, что говорит о симметрии.

Теперь давайте рассмотрим прямую $EF$. Точки $C$ и $D$ лежат на обеих окружностях, а значит, прямая $CD$ является общей хордой этих двух окружностей.

Шаг 3: Рассмотрение перпендикулярности

Нам нужно доказать, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $EF$. Известно, что если две окружности пересекаются, то прямая, проходящая через точки их пересечения, перпендикулярна прямой, соединяющей их центры. Это геометрический факт, который можно доказать с помощью теоремы о перпендикулярности хорд к линии центров двух пересекающихся окружностей.

Шаг 4: Заключение

Так как $CD$ — это общая хорда двух окружностей, и прямая, соединяющая их центры $E$ и $F$, перпендикулярна этой хорде, то мы можем утверждать, что $CD \perp EF$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $EF$.