Теорема о медианах треугольника (доказательство надо)

Теорема о медианах треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Доказательство через координаты.

Пусть вершины треугольника имеют координаты \(A(x_1;y_1)\), \(B(x_2;y_2)\), \(C(x_3;y_3)\).

Середина стороны \(BC\) имеет координаты:

\[M\left(\frac{x_2+x_3}{2};\frac{y_2+y_3}{2}\right)\]

Рассмотрим точку:

\[G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\]

Эта точка лежит на медиане \(AM\), потому что её координаты получаются так: от вершины \(A\) надо пройти \(\frac{2}{3}\) пути к середине \(M\). Значит, \(AG:GM=2:1\).

Точно так же можно рассмотреть медианы из вершин \(B\) и \(C\). Для них получается та же самая точка \(G\).

Значит, все три медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении \(2:1\) от вершины. Теорема доказана.

0 0 Пожаловаться