Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу в 90 градусов. Найдите площадь поверхности конуса, если его образующая равна L, а угол в сечении при вершине конуса равен 60 градусам. Найдите расстояние от центра основания до плоскости сечения.

Разберу задачу через сечение: сначала свяжем хорду основания с радиусом, затем используем треугольник сечения и отдельно найдём расстояние от центра основания до плоскости.

Пусть вершина конуса — $S$, центр основания — $O$, радиус основания — $R$, высота — $h$, образующая — $L$. Плоскость через вершину пересекает основание по хорде $AB$. Тогда сечение — треугольник $SAB$.

По условию хорда $AB$ стягивает дугу в $90^\circ$, значит центральный угол

Поэтому длина хорды основания равна

С другой стороны, в сечении треугольник $SAB$ равнобедренный:

а угол при вершине конуса равен $60^\circ$:

Тогда по теореме косинусов:

Так как $\cos 60^\circ = \frac12$, получаем:

следовательно,

Но также

Значит,

откуда

Теперь найдём высоту конуса. Для прямого кругового конуса

Подставляем $R = \frac{L}{\sqrt2}$:

Значит,

Площадь полной поверхности конуса равна сумме боковой поверхности и площади основания:

Подставляем $R = \frac{L}{\sqrt2}$:

Так как