№2.Сторона правильного треугольника равна 12см. На расстоянии 1см от плоскости треугольника взята точка, одинаково удалённая от всех его сторон. На каком расстоянии от вершин треугольника находится эта точка?

Давайте подробно разберём задачу.

У нас есть правильный треугольник с длиной стороны 12 см. Мы знаем, что вектор, направленный от плоскости треугольника, состоит на 1 см, и эта точка одинаково удалена от всех сторон треугольника.

Эта точка лежит на перпендикуляре, который проходит через центр тяжести правильного треугольника. Центр тяжести треугольника (или центр масс) является точкой пересечения медиан треугольника, и поскольку треугольник правильный, эта точка симметрична относительно всех трёх сторон.

Так как точка лежит на расстоянии 1 см от плоскости треугольника и одинаково удалена от всех сторон, то эта точка расположена на линии, перпендикулярной плоскости треугольника, в центре тяжести, но сдвинута на 1 см по высоте относительно этой плоскости.

Теперь давайте найдем, на каком расстоянии от вершин треугольника находится эта точка.

Шаг 1: Найдём высоту правильного треугольника.

Высота правильного треугольника с длиной стороны $a$ вычисляется по формуле:

Подставляем $a = 12$:

Шаг 2: Найдём координаты центра тяжести.

Центр тяжести правильного треугольника находится на высоте, равной третьей части высоты треугольника от основания. Таким образом, высота от центра тяжести до основания составляет:

Шаг 3: Учитываем смещение на 1 см.

Точка, которая находится на расстоянии 1 см от плоскости треугольника и одинаково удалена от всех его сторон, расположена на высоте, равной $1$ см от плоскости треугольника. Это означает, что эта точка расположена на перпендикуляре, который проходит через центр тяжести, но смещен от плоскости на 1 см.

Так как треугольник правильный и симметричен, точка будет располагаться на расстоянии 1 см от плоскости и будет одинаково удалена от всех вершин треугольника. С этой точки мы можем ожидать, что расстояние от этой точки до каждой из вершин будет одинаковым.

Ответ:

Эта точка находится на расстоянии примерно 1 см от плоскости правильного треугольника, и расстояние от неё до каждой вершины будет одинаковым, поскольку точка лежит на перпендикуляре, проходящем через центр тяжести.