Даны вершины треугольной пирамиды S(3;2;5), A(4;-2;-3), B(-2;4;-2), C(-2;-3;-5). Найти:
1) угол между рёбрами BS и BC
2) площадь грани ABC
3) объём пирамиды SABC
4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань ABC
5) угол между ребром SC и гранью ABC
6) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань ABC

Решу через векторы: сначала найду направляющие рёбер и нормаль к плоскости $ABC$, затем из них получатся площадь, объём, высота и углы.

Рассмотрим точки:

1) Угол между рёбрами $BS$ и $BC$

Берём векторы с общим началом в точке $B$:

Скалярное произведение:

Длины векторов:

Тогда

Ответ:

2) Площадь грани $ABC$

Найдём векторы:

Площадь треугольника $ABC$:

Найдём векторное произведение: