В треугольнике АВС угол Аменьше угла В в 3 раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40 градусов. Найдите внутренние углы треугольника АВС

Давайте подробно разберем задачу и найдем внутренние углы треугольника $ABC$.

Обозначения и исходные данные:

1. Пусть внутренний угол при вершине $A$ равен $\alpha$, а при вершине $B$ — $\beta$.
2. Сказано, что угол $A$ в три раза меньше угла $B$, то есть $\alpha = \frac{\beta}{3}$.
3. Внешний угол при вершине $A$ больше внешнего угла при вершине $B$ на $40^\circ$. Внешний угол равен $180^\circ$ минус внутренний угол, следовательно: $$180^\circ - \alpha = (180^\circ - \beta) + 40^\circ.$$

Уравнение для связи внешних углов:

Из условия про внешние углы имеем:

Сокращаем $180^\circ$ с обеих сторон:

Или:

Уравнение суммы углов треугольника:

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$:

где $\gamma$ — внутренний угол при вершине $C$.

Решение системы уравнений:

У нас есть три уравнения:

1. $\alpha = \frac{\beta}{3}$;
2. $\alpha = \beta - 40^\circ$;
3. $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставим $\alpha = \frac{\beta}{3}$ во второе уравнение:

Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дробей:

Перенесём $3\beta$ влево:

Разделим на $-2$:

Теперь найдём $\alpha$, используя $\alpha = \frac{\beta}{3}$:

Найдём $\gamma$ из уравнения суммы углов:

Подставляем значения $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 60^\circ$:

Ответ:

Внутренние углы треугольника $ABC$ равны:

• $\alpha = 20^\circ$,
• $\beta = 60^\circ$,
• $\gamma = 100^\circ$.