Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC второе больше длины стороны AB. Найдите отношение площади KPCM к площади треугольника ABC

Рассмотрим задачу о нахождении отношения площади четырехугольника $KPCM$ к площади треугольника $\triangle ABC$, где медиана $BM$ и биссектриса $AP$ пересекаются в точке $K$, а сторона $AC$ в два раза больше стороны $AB$ ($AC = 2 \cdot AB$).

Шаг 1: Определение свойств треугольника и координат

1. Пусть треугольник $\triangle ABC$ лежит на плоскости. Зафиксируем вершины:

   • $A(0, 0)$,
   • $B(b, 0)$,
   • $C(2b, c)$, где $b > 0$, $c > 0$, так как $AC = 2 \cdot AB$.

2. Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам. Тогда координаты точки $M$ — середины $AC$:

   $$M = \left(\frac{0 + 2b}{2}, \frac{0 + c}{2}\right) = (b, \frac{c}{2}).$$

3. Биссектриса $AP$ делит угол $\angle CAB$ и пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Применяя свойство биссектрисы (она делит противоположную сторону в отношении сторон прилежащих углов), можно найти координаты точки $P$:

   $$P = \left(\frac{b \cdot 2b + 2b \cdot b}{b + 2b}, \frac{0 \cdot 2b + c \cdot b}{b + 2b}\right) = \left(\frac{2b}{3}, \frac{c}{3}\right).$$

4. Точка пересечения $K$ медианы $BM$ и биссектрисы $AP$ находится как точка пересечения двух прямых.

   Уравнение медианы $BM$:

   $$y = \frac{\frac{c}{2} - 0}{b - b} (x - b) + 0 = \frac{c}{2b}(x - b).$$

   Уравнение биссектрисы $AP$ (проходящей через $(0, 0)$ и $P$):

   $$y = \frac{\frac{c}{3} - 0}{\frac{2b}{3} - 0} \cdot x = \frac{c}{2b} \cdot x.$$

   Решая систему этих двух уравнений, находим $K$:

   $$\frac{c}{2b}(x - b) = \frac{c}{2b} \cdot x \implies x = b, \quad y = \frac{c}{3}.$$

   Следовательно, $K(b, \frac{c}{3})$.

Шаг 2: Координаты точек четырехугольника $KPCM$

Четырехугольник $KPCM$ состоит из точек $K(b, \frac{c}{3})$, $P(\frac{2b}{3}, \frac{c}{3})$, $C(2b, c)$, $M(b, \frac{c}{2})$.

Шаг 3: Нахождение площадей

1. Площадь треугольника $\triangle ABC$: Формула для площади треугольника по координатам:

   $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|.$$