В треугольнике ABC через точку пересечения медиан проведена прямая параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Найдите AC если KE = 12см Найдите площадь треугольника BKE если площадь треугольника ABC = 72 см

Давайте разберем решение данной задачи пошагово.

1. Понимание задачи: У нас есть треугольник $ABC$, в котором проведены медианы. В точке их пересечения, обозначим её как $G$, проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $E$ соответственно. Дано, что $KE = 12$ см, а площадь треугольника $ABC$ равна $72$ см². Необходимо найти длину стороны $AC$ и площадь треугольника $BKE$.

2. Использование свойств медиан и параллельных линий:

   • Точка $G$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ и делит каждую медиану в отношении $2:1$ (две части от вершины и одна часть к основанию).
   • Поскольку $KE$ параллельна стороне $AC$, а точка $G$ делит медианы, линия $KE$ также делит треугольник $ABC$ на подобные треугольники. Треугольники $ABC$ и $BKE$ будут подобны с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$, поскольку точка $G$ делит медианы в отношении $2:1$.

3. Поиск длины $AC$:

   • Поскольку $KE$ параллельна $AC$, и коэффициент подобия между треугольниками $ABC$ и $BKE$ равен $\frac{1}{3}$, длина отрезка $KE$ будет равна $\frac{1}{3}$ длины $AC$.
   • Таким образом, можем записать: $$KE = \frac{1}{3} AC$$
   • Подставляем значение $KE = 12$ см: $$12 = \frac{1}{3} AC$$
   • Умножив обе стороны на 3, получаем: $$AC = 12 \times 3 = 36 \text{ см}$$

4. Нахождение площади треугольника $BKE$:

   • Поскольку треугольники $ABC$ и $BKE$ подобны с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$, площадь треугольника $BKE$ будет равна $\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$ площади треугольника $ABC$.
   • Площадь треугольника $ABC$ равна $72$ см², следовательно: $$S_{BKE} = \frac{1}{9} \times 72 = 8 \text{ см}^2$$

5. Ответ:

   • Длина стороны $AC$ равна $36$ см.
   • Площадь треугольника $BKE$ равна $8$ см².