Дан угол AOD и две параллельные плоскости α и β. Плоскость α пересекает стороны угла OA и OD соответственно в точках A и D, плоскость β эти стороны пересекает соответственно в точках B и C. Дано: OB = 7 AB = 4 BC = 9 CD = 2

Найти: ADOD

Для решения задачи необходимо рассмотреть геометрические отношения между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, а также между отрезками, образованными пересечением этих плоскостей с сторонами угла $AOD$.

Дано:

1. $OB = 7$ (расстояние от точки $O$ до точки пересечения стороны $OA$ с плоскостью $\beta$);
2. $AB = 4$ (длина отрезка между точками пересечения стороны $OA$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$);
3. $BC = 9$ (длина отрезка между точками пересечения стороны $OD$ с плоскостями $\beta$ и $\alpha$);
4. $CD = 2$ (расстояние от точки $C$ до точки пересечения стороны $OD$ с плоскостью $\alpha$).

Нужно найти отношение длины отрезка $AD$ на стороне $OA$ к длине отрезка $OD$, то есть $\frac{AD}{OD}$.

Решение:

1. Отношение отрезков на одной прямой: Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, точки пересечения одной стороны угла с этими плоскостями делят эту сторону в одном и том же отношении. Это означает:

   $$\frac{OA}{OB} = \frac{AD}{BC}.$$

2. Запись пропорции: Подставляем известные значения:

   $$\frac{OA}{OB} = \frac{AB + OB}{OB} = \frac{4 + 7}{7} = \frac{11}{7}.$$

   Следовательно:

   $$\frac{AD}{BC} = \frac{11}{7}.$$

3. Вычисление $AD$: Отсюда:

   $$AD = BC \cdot \frac{11}{7} = 9 \cdot \frac{11}{7} = \frac{99}{7}.$$

4. Вычисление $OD$: Аналогично, для стороны $OD$, используя отношение $\frac{OD}{OC}$:

   $$\frac{OD}{OC} = \frac{CD + OC}{OC} = \frac{CD + BC}{BC} = \frac{2 + 9}{9} = \frac{11}{9}.$$

   Тогда:

   $$OD = CD \cdot \frac{11}{9} = 2 \cdot \frac{11}{9} = \frac{22}{9}.$$

5. Отношение $\frac{AD}{OD}$: Теперь вычисляем требуемое отношение:

   $$\frac{AD}{OD} = \frac{\frac{99}{7}}{\frac{22}{9}} = \frac{99}{7} \cdot \frac{9}{22} = \frac{891}{154}.$$

   Упростим дробь:

   $$\frac{891}{154} = \frac{9 \cdot 99}{2 \cdot 77} = \frac{9 \cdot 9 \cdot 11}{2 \cdot 7 \cdot 11} = \frac{81}{14}.$$

Ответ: