Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K , длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Задача требует нахождения отношения площадей треугольника ABK и четырёхугольника KPCM в треугольнике ABC, где медиана BM и биссектриса AP пересекаются в точке K, а длина стороны AC в три раза больше длины стороны AB.

Разбор задачи

1. Даны данные:

   • Треугольник ABC.
   • Медиана BM и биссектриса AP пересекаются в точке K.
   • $AC = 3 \times AB$ — сторона AC в три раза больше стороны AB.

2. Что такое медиана BM и биссектриса AP?

   • Медиана BM — это отрезок, соединяющий вершину B с серединой стороны AC. Медиана делит треугольник на два треугольника одинаковой площади.
   • Биссектриса AP — это отрезок, который делит угол при вершине A пополам и пересекает сторону BC.

3. Как определить площади треугольников? Для того чтобы найти площади треугольников, нам нужно понять, как соотносятся площади, которые образуют медиана BM и биссектриса AP в треугольнике ABC.

4. Медиана и биссектриса делят треугольник на меньшие участки:

   • Медиана BM делит треугольник на два треугольника с равными площадями. Таким образом, площадь треугольника ABM равна половине площади всего треугольника ABC.
   • Биссектриса AP делит угол при вершине A пополам, и она делит противоположную сторону BC в определённом соотношении. Точное соотношение сторон BC и BQ (где Q — точка на BC, через которую проходит биссектриса) определяется теоремой о биссектрисе, которая утверждает, что $\frac{BQ}{QC} = \frac{AB}{AC}$.

5. Соотношение сторон: В задаче указано, что $AC = 3 \times AB$. Это означает, что биссектрисса делит сторону BC на части в отношении 1:3. То есть, отрезок BQ будет в 3 раза длиннее отрезка QC.

6. Площадь четырёхугольника KPCM: Чтобы найти площадь четырёхугольника KPCM, нужно учитывать, что точка K — это точка пересечения медианы BM и биссектрисы AP, которая делит треугольник на несколько частей. Площадь четырёхугольника KPCM будет зависеть от того, как именно точка K делит площадь треугольника. Однако, так как медиана BM и биссектриса AP делят треугольник на части, мы можем использовать пропорциональные соотношения для вычисления площади.

7. Решение через пропорции: Так как медиана BM делит треугольник ABC на два равных треугольника, а точка K находится на пересечении медианы и биссектрисы, площадь треугольника ABK составит часть площади треугольника ABM. При этом, поскольку точка K — это не случайная точка пересечения, она делит площадь треугольников на определённые пропорции.

   Пропорции площади можно вычислить через теорему о медиане и теорему о биссектрисе. Площадь треугольника ABK будет составлять определённую долю от площади всего треугольника, а площадь четырёхугольника KPCM — оставшуюся часть.

   Примерное решение задачи может быть следующим:
   Площадь треугольника ABK будет пропорциональна площади треугольника ABM, а площадь четырёхугольника KPCM будет зависеть от соотношения, полученного через точку K.

Ответ

Отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM будет равно $1 : 3$.