1) В равнобокой трапеции один из углов равен 60 градусов, а боковая сторона равна 10 см , а меньшие основания 6 см. Найти среднюю линию трапеции.
2) Начертите 2 не колинеарных вектора р и q и отметьте от т.О, отложите от т.О вектор ОА=1/5 вектора р-2q
3) Диагонали параллелограмма ABCD пересикаются в т.О, а т.М делит сторону АD в оношении AM: MD как 1:2. Выразите вектор ОМ через векторы АВ=а, и AD=в.

1. Средняя линия равнобокой трапеции:

В данной задаче у нас есть равнобокая трапеция, у которой угол равен 60 градусов, боковая сторона равна 10 см, а меньшие основания — 6 см. Необходимо найти среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и равна полусумме длин оснований.

Итак, по теореме:

где:

• $b_1$ — длина большего основания,
• $b_2$ — длина меньшего основания.

Чтобы найти большую сторону основания $b_1$, используем данные, что боковая сторона равна 10 см, а угол между боковой стороной и основанием составляет 60 градусов. В данном случае мы можем применить тригонометрические функции.

Предположим, что боковые стороны (равные) образуют с основанием угол 60 градусов. Для нахождения большего основания воспользуемся косинусом:

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

Теперь, зная $b_1 = 16$ см и $b_2 = 6$ см, можем найти среднюю линию:

Таким образом, средняя линия трапеции равна 11 см.

2. Отложение вектора $\mathbf{OA}$:

Задано, что от точки $O$ нужно отложить вектор $\mathbf{OA}$, равный $\frac{1}{5} \mathbf{p} - 2\mathbf{q}$, где $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$ — два неколинеарных вектора.

Чтобы изобразить это на координатной плоскости:

1. Сначала нарисуем два вектора $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$, которые неколинеарны (то есть они не параллельны друг другу).
2. Затем, для того чтобы отложить вектор $\mathbf{OA}$, нужно масштабировать вектор $\mathbf{p}$ на $\frac{1}{5}$ и умножить вектор $\mathbf{q}$ на $-2$.
3. После этого нужно сложить оба полученных вектора и отложить результат от точки $O$, получив точку $A$.

Процесс можно описать следующим образом:

• Вектор $\frac{1}{5} \mathbf{p}$ указывает в том же направлении, что и $\mathbf{p}$, но его длина будет в 5 раз меньше.
• Вектор $-2 \mathbf{q}$ будет направлен в противоположную сторону относительно вектора $\mathbf{q}$ и будет в два раза длиннее.
• Сложив эти два вектора, мы получим вектор $\mathbf{OA}$.

Это геометрически можно интерпретировать как перемещение от точки $O$ по направлению вектора $\mathbf{p}$, но в 5 раз короче, и затем в направлении вектора $\mathbf{q}$, но в два раза длиннее и в противоположную сторону.

3. Вектор $\mathbf{OM}$ в параллелограмме:

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ делит сторону $AD$ в отношении $AM:MD = 1:2$. Требуется выразить вектор $\mathbf{OM}$ через векторы $\mathbf{AB} = \mathbf{a}$ и $\mathbf{AD} = \mathbf{b}$.

Известно, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, то есть точка пересечения диагоналей является их серединой. Таким образом, $O$ — это середина диагоналей $AC$ и $BD$.

Точка $M$ делит сторону $AD$ в отношении 1:2, что означает, что точка $M$ делит отрезок $AD$ на части, которые пропорциональны 1 и 2.

Пусть вектор $\mathbf{OM}$ — это часть вектора $\mathbf{OD}$, которая пропорциональна отношению $1:2$. Мы можем выразить $\mathbf{OM}$ как:

Так как $\mathbf{OD} = \mathbf{b}$, то:

Но точка $O$ — это середина диагонали $AC$, и можно выразить вектор $\mathbf{OM}$ через векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ следующим образом.

Так как $\mathbf{A}$ и $\mathbf{C}$ противоположные вершины параллелограмма, то $\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{b}$.

Таким образом, решение задачи сводится к: