1) В параллелограмме ABCD, E середина BC, AB=5 см, угол EAD = 30 градусов, угол ABC=100 градусов. Найдите площадь параллелограмма и радиус описанной около треугольника ABE окружности.
2) Площадь треугольника PKT равна S, угол P=a, угол T=b. Найдите сторону PK.

Задача 1: Параллелограмм ABCD. Найдите площадь параллелограмма и радиус описанной окружности вокруг треугольника ABE.

Итак, у нас есть параллелограмм ABCD, где E — середина стороны BC. Даны следующие данные:

• AB = 5 см
• угол EAD = 30°
• угол ABC = 100°

Для начала, определим площадь параллелограмма и радиус описанной окружности вокруг треугольника ABE.

Шаг 1: Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно вычислить через векторное произведение его сторон. Однако для упрощения задачи воспользуемся формулой для площади параллелограмма через сторону и угол между ними.

Площадь параллелограмма $S_{\text{ABC}}$ вычисляется по формуле:

Из условия нам известно, что AB = 5 см, и угол $\angle ABC = 100^\circ$, что означает, что угол $\angle BAD = 80^\circ$ (так как углы соседних сторон параллелограмма равны и угол ABC + угол BAD = 180°).

Теперь вычислим:

Используем значение $\sin(80^\circ) \approx 0.9848$:

Площадь параллелограмма равна примерно 24.62 см².

Шаг 2: Радиус описанной окружности треугольника ABE

Теперь найдем радиус описанной окружности вокруг треугольника ABE. Для этого используем формулу для радиуса окружности, описанной около треугольника:

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Для треугольника ABE мы знаем одну сторону (AB = 5 см), но для остальных сторон и площади нам нужно будет вычислить дополнительные данные.

1. Стороны треугольника ABE:

   • AB = 5 см (дано).
   • BE — сторона, которую мы можем найти с использованием того, что E — середина BC.
   • AE — также нужно вычислить из геометрических соображений (например, через угол EAD или используя свойства параллелограмма).

2. Площадь треугольника ABE:
   Для вычисления площади треугольника можно использовать формулу через две стороны и угол между ними:

   $$S_{\text{ABE}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \cdot \sin(\angle EAD)$$

   Но для точного расчета нам нужно будет еще немного больше данных, так как угол и стороны не полные. Однако, можно воспользоваться приближенными или дополнительными методами для вычисления точного радиуса окружности, если все стороны и углы треугольника ABE будут найдены. Данный расчет требует больше шагов и числовых значений, которые можно получить через геометрический анализ.

Задача 2: Треугольник PKT

Даны:

• Площадь треугольника PKT равна S.
• Углы $P = a$, $T = b$.

Нужно найти сторону PK.

Для того, чтобы решить эту задачу, используем формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними. Площадь треугольника PKT можно выразить как:

где $PK$, $PT$ — стороны треугольника, а $\angle K = 180^\circ - a - b$ (угол в треугольнике между сторонами PK и PT). Таким образом, выражаем сторону PK через площадь S и другие параметры:

Из формулы синуса угла видно, что $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$, следовательно:

Зная площади S и значения углов $a$ и $b$, а также сторону PT, можно найти сторону PK, подставив все данные в эту формулу.

Таким образом, решение задачи сводится к вычислению стороны PK через известные значения площади и углов.