Помогите решить:

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой ВС и углом В = 60 градусов, проведена высота АД. Найти ДС, если ВД = 2 см.

В задаче нам дается прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC, углом $\angle B = 60^\circ$ и высотой AD, проведенной из вершины A на гипотенузу BC. Также известно, что отрезок BД имеет длину 2 см, и требуется найти длину отрезка ДС.

Для решения задачи используем несколько геометрических свойств и теорем.

Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC

Так как угол $\angle B = 60^\circ$, а треугольник ABC — прямоугольный, то угол $\angle C = 90^\circ$, и угол $\angle A = 30^\circ$, так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

Шаг 2: Теорема о высоте

Высота, проведенная из прямого угла (в данном случае из вершины A) в прямоугольном треугольнике, делит гипотенузу на два отрезка, которые пропорциональны катетам треугольника. То есть, если $AD$ — высота, то выполнено следующее соотношение:

Шаг 3: Используем свойства прямоугольного треугольника 30°-60°-90°

Треугольник ABC является прямоугольным с углами 30°, 60° и 90°. Для такого треугольника известно, что стороны между углами 30° и 60° имеют отношения, следующие:

• Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
• Катет, противолежащий углу 60°, равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ от гипотенузы.

Обозначим гипотенузу BC как $c$. Тогда длины катетов будут:

• $AB = \frac{c}{2}$
• $AC = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

Шаг 4: Применение теоремы о высоте

Из теоремы о высоте для прямоугольного треугольника знаем, что высота $AD$ связана с длинами катетов и гипотенузы следующим образом:

Подставим выражения для $AB$, $AC$ и $BC$ (где $BC = c$):

Шаг 5: Определение длины отрезков BD и DC

Мы знаем, что $BD = 2$ см. Чтобы найти длину $DC$, нужно использовать соотношение из теоремы о высоте. Из предыдущего шага мы получили, что $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Подставляем выражения для $AB$ и $AC$:

Из этого получаем:

Ответ

Длина отрезка $DC$ равна $2\sqrt{3}$ см.