Точка О – центр квадрата со стороной 6 см. Отрезок ОМ перпендикулярен плоскости квадрата и ОМ = 5 см. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата.

Задача состоит в том, чтобы найти расстояние от точки М до вершин квадрата, при этом точка М находится вне плоскости квадрата, а отрезок ОМ перпендикулярен плоскости квадрата и равен 5 см.

1. Определим координаты точек квадрата.

   Пусть квадрат лежит в плоскости XY, и его центр О — это начало координат, т.е. $O(0, 0, 0)$. Сторона квадрата равна 6 см, поэтому его вершины расположены на расстоянии 3 см от центра по обеим осям. Тогда координаты вершин квадрата (по порядку, начиная с вершины в правом верхнем углу) будут следующими:

   • A(3, 3, 0)
   • B(-3, 3, 0)
   • C(-3, -3, 0)
   • D(3, -3, 0)

2. Координаты точки М.

   Точка М находится на отрезке, который перпендикулярен плоскости квадрата и проходит через центр квадрата, т.е. она расположена на оси Z. Поскольку отрезок ОМ имеет длину 5 см, точка М будет находиться на расстоянии 5 см от центра О, то её координаты будут:

   • M(0, 0, 5)

3. Нахождение расстояний от точки М до вершин квадрата.

   Для того чтобы найти расстояние от точки М до каждой из вершин квадрата, воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в пространстве:

   $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

   где $(x_1, y_1, z_1)$ — координаты точки М, а $(x_2, y_2, z_2)$ — координаты вершины квадрата.

   Подставляем координаты точки М (0, 0, 5) и вершины A(3, 3, 0):

   $$d_A = \sqrt{(3 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43} \approx 6.56 \, \text{см}$$

   Аналогично для других вершин квадрата:

   • Для вершины B(-3, 3, 0):

     $$d_B = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43} \approx 6.56 \, \text{см}$$

   • Для вершины C(-3, -3, 0):

     $$d_C = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (-3 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43} \approx 6.56 \, \text{см}$$

   • Для вершины D(3, -3, 0):

     $$d_D = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-3 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43} \approx 6.56 \, \text{см}$$