2) Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найти расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ=6см.

Чтобы найти расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, где точка $M$ равноудалена от всех трёх вершин правильного треугольника $ABC$, давайте рассмотрим решение шаг за шагом.

1. Определим центр правильного треугольника $ABC$: Поскольку треугольник $ABC$ правильный, можно сказать, что все его стороны равны и его центр (точка пересечения медиан) находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины. Введём точку $O$, которая является центром треугольника $ABC$.

2. Рассчитаем сторону треугольника $ABC$: Длина стороны $AB = 6$ см. В правильном треугольнике со стороной $a$ расстояние от центра треугольника до каждой из его вершин, радиус описанной окружности $R$, определяется как:

   $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

   Подставляем $a = 6$ см:

   $$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \, \text{см}$$

   Таким образом, расстояние от центра $O$ до каждой вершины треугольника составляет примерно 3.46 см.

3. Определим позицию точки $M$: По условию задачи, расстояние от точки $M$ до каждой из вершин треугольника $ABC$ равно 4 см. Поскольку $M$ равноудалена от всех вершин, она должна находиться на оси, проходящей через центр $O$ треугольника и перпендикулярной к плоскости треугольника $ABC$.

4. Вычислим расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$: Обозначим расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ как $h$. Тогда мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $MOA$, где:

   • $MO = 4$ см — расстояние от точки $M$ до вершины $A$,
   • $OA = R = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ см.

   Применим теорему Пифагора к треугольнику $MOA$:

   $$MO^2 = OA^2 + h^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$4^2 = (2\sqrt{3})^2 + h^2$$ $$16 = 4 \times 3 + h^2$$ $$16 = 12 + h^2$$ $$h^2 = 4$$ $$h = \sqrt{4} = 2$$

Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника $ABC$ равно $2$ см.